Сборник статей

Страница: 123456 ... 127

Импульс и движение центра масс

Импульс материальной точки – векторная величина, равная произведению её массы на скорость. Эту величину ввели потому, что она удобна. Для системы материальных точек в инерциальных системах отсчёта выполняется равенство , где – изменение импульса системы, – векторная сумма всех внешних сил, действующих на точки данной системы.

Равенство выполняется, если величина постоянна. Выясним, как найти , если меняется со временем. Рассмотрим график зависимости F(t). При ударе по футбольному мячу зависимость силы от времени имеет примерно такой вид, как показано на рисунке. Допустим, нужно найти изменение импульса мяча за промежуток времени от t1 до t2. Для простоты будем считать, что мяч сначала покоился, а сила всё время направлена вдоль одной прямой.

Разобьём сегмент [t1; t2] на много одинаковых маленьких отрезков. Длину одного отрезка обозначим двумя буквами: dt. Похожим образом мы раньше обозначали разность: ?t. Новое обозначение dt – это тоже разность, но в данном случае очень малая. Если функция F(t) непрерывна на [t1; t2], то, какой бы она ни была, величину dt можно сделать столь малой, что на каждом отрезке времени длиной dt силу F можно считать постоянной. Для сегмента [t; t +dt] можно записать: dpсист = F(t)dt, где dpсист – изменение импульса системы (мяча) за промежуток времени [t; t +dt], вычисленное приближённо. Величина dpсист численно равна площади прямоугольника со сторонами dt и F(t).

Сумма площадей всех таких прямоугольников приближённо равна изменению импульса мяча за время от t1 до t2. Чем меньше dt, тем меньше сумма площадей отличается от точного значения изменения импульса. Когда dt стремится к нулю, сумма площадей стремится к точному значению изменения импульса.

Теперь заметим, что когда dt стремится к нулю, сумма площадей стремится к площади S фигуры под графиком (рис. справа). Таким образом, изменение импульса равно площади фигуры под графиком F(t). Если направление силы меняется со временем, нужно рассматривать её проекции на оси координат. Если графиком F(t) является прямая, площадь S легко вычислить. Подобным образом поступали при выводе формул для равноускоренного движения. Там находили площадь под графиком скорости от времени.

Тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого нужно тела мысленно разбить на много маленьких элементов, каждый из которых можно считать материальной точкой. Форма элементов не имеет значения, т.к. они очень маленькие.

Напомним, что импульс системы – это векторная сумма импульсов всех входящих в неё материальных точек. Импульс тела, движущегося поступательно, равен произведению его массы на скорость. Если система состоит из тел, движущихся поступательно, её импульс равен векторной сумме таких произведений. Если часть тел или все тела движутся не поступательно, нужно разбить эти тела на много маленьких элементов. Импульс системы равен сумме импульсов поступательно движущихся тел и маленьких элементов.

— 1 —
Страница: 123456 ... 127